Giải bài 2.6 trang 42

Đề bài

Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 

 

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật, y là chiều dài của hình chữ nhật ($0\le x,y\le 10$, mét)

Khi đó, bán kính hình tròn là $\frac{x}{2}$
Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn: $\frac{\pi x}{2}$

Độ dài mép ngoài cửa sổ là: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=10\Rightarrow y=\frac{20-\pi x-2x}{4}$

Diện tích cửa sổ là: $S\left(x\right)=\frac{\pi x^2}{8}+x.\frac{20-\pi x-2x}{4}=\frac{-\pi -4}{8}{x}^2+5x$

­­$\begin{array}{c}{S}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-\pi -4}{4}x+5\\ S^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{20}{\pi +4}\end{array}$

Ta có: $S\left(0\right)=0;S\left(\frac{20}{\pi +4}\right)\approx 7;S\left(10\right)=-12,5\pi$

Vậy $x_{max}=\frac{20}{\pi +4}\approx 2,8\left(m\right),y\approx 1,4\left(m\right)$.