Giải bài 2.6 trang 44

Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = frac{2}{3}overrightarrow {MN} ); b) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {CD} ).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{E F} = \frac{2}{3} \vec{M N}$ ;

b) $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a : Sử dụng tính chất của đường trung bình để biểu diễn vectơ $\vec{E A}$ và $\vec{A F}$ theo vectơ khác sao cho xuất hiện điểm M, N,..(các điểm mong muốn). Kết hợp với phép biến đổi, tách, cộng vectơ để chứng minh kết quả cuối cùng với $\vec{E F}$ .

Ý b: Xét tam giác BCD có MN là đường trung bình. Từ đó biểu diễn được $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ . Thay giá trị đó vào ý a ta thu được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có $E A = \frac{2}{3} A M$ (do E là trọng tâm và AM là trung tuyến của tam giác). Suy ra $\vec{E A} = \frac{2}{3} \vec{M A}$ . Tương tự xét tam giác ABD có $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A N}$ (do F là trọng tâm và AN là trung tuyến của tam giác).

Do đó ta có $\vec{E F} = \vec{E A} + \vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{M A} + \frac{2}{3} \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{M N} .$

b) Xét tam giác BCD có MN là đường trung bình suy ra $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ .

Kết hợp với ý a ta có $\vec{E F} = \frac{2}{3} \vec{M N} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{C D} .$