Giải bài 2.7 trang 23

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F(x;y)=2x+3yF(x;y)=2x+3yF\left( {x;y} \right) = 2x + 3y với (x;y)(x;y)\left( {x;y} \right) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ⎧⎪⎨⎪⎩x+y≤6x≥0y≥0.{x+y≤6x≥0y≥0.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 6}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}.}

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F (x; y) = 2 x + 3 y$ với $(x; y)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vẽ hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $O x y .$

- Xác định miền nghiệm của hệ phương trình ${\begin{matrix} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F (x; y) = 2 x + 3 y .$

Lời giải chi tiết

Xác định miền của bất phương trình $x + y \leq 6$ là nửa mặt phẳng bờ $d : x + y = 6$ chứa điểm gốc tọa độ $O (0; 0) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{1} : x = 0$ chứa điểm $A^{'} (0; 1) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{2} : y = 0$ chứa điểm $B^{'} (1; 0) .$

Miền các định của hệ phương trình đã cho là $Δ O B C$ có $A (0; 6), B (6; 0)$

Ta có: $F (0; 0) = 0, F (6; 0) = 2.6 + 3.0 = 12, F (0; 6) = 2.0 + 3.6 = 18.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $F (0; 6) = 18,$ giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $F (0; 0) = 0.$