Giải bài 2.7 trang 42

Đề bài

Người ta muốn kéo một đường dây điện tử nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (Hình 2.18). Tìm vị trí điểm S sao cho chi phí kéo đường dây là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Đặt $BS=x\left(m\right)$$(0\le x\le 4)$. Khi đó, $SA=4-x;CS=\sqrt{1+x^2}$

Khi đó, chi phí cần bỏ ra là: $f\left(x\right)=5000\sqrt{1+x^2}+3000(4-x)$, $x\in \left[0;4\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5000x}{\sqrt{1+x^2}}-3000$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3\sqrt{1+x^2}=5x\iff x=\frac{3}{4}$

Ta có $f\left(0\right)=17000;f\left(\frac{3}{4}\right)=16000;f\left(4\right)\approx 20616$. Ta thấy GTNN ứng với $x=\frac{3}{4}$.

Vậy điểm S trên bờ biển cần tìm cách A một khoảng $4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}\left(km\right)$.