Giải bài 2.8 trang 23

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F (x; y) = 4 x - 3 y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x + y \geq - 4 \\ x + y \leq 5 \\ x - y \leq 5 \\ x - y \geq - 4 \end{matrix} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vẽ hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x + y \geq - 4 \\ x + y \leq 5 \\ x - y \leq 5 \\ x - y \geq - 4 \end{matrix}$

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \geq - 4$ là nửa mặt phẳng bờ $d : x + y = - 4$ chứa gốc tọa độ $O (0; 0) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \leq 5$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{1} : x + y = 5$ chứa gốc tọa độ $O (0; 0) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x - y \leq 5$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{2} : x - y = 5$ chứa gốc tọa độ $O (0; 0) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x - y \geq - 4$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{3} : x - y = - 4$ chứa gốc tọa độ $O (0; 0) .$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là: hình vuông $A B C D$ với $A (- 4; 0),$ $B (\frac{1}{2}; \frac{9}{2}),$ $C (5; 0), D (\frac{1}{2}; \frac{- 9}{2}) .$

Ta có: $F (- 4; 0) = 4 (- 4) - 3.0 = - 16, F (\frac{1}{2}; \frac{9}{2}) = 4. \frac{1}{2} - 3. \frac{9}{2} = \frac{- 23}{2},$

$F (5; 0) = 4.5 - 3.0 = 20, F (\frac{1}{2}; \frac{- 9}{2}) = 4. \frac{1}{2} - 3. (\frac{- 9}{2}) = \frac{31}{2} .$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là: $F (5; 0) = 20,$ giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: $F (- 4; 0) = - 16.$