Giải bài 2.8 trang 30

Đề bài

Ta sẽ "lập luận" bằng quy nạp toán học để chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đểu có cùngmàu”. Ta gọi P(n) với n nguyên dương là mệnh để sau: “Mọi con mèo trong một đàn gồmn con đều có cùng màu”.

Bưóc 1. Với n = 1 thì mệnh để P(1) là “Mọi con mẻo trong một đàn gồm 1 con đểu có cùng màu”. Hiển nhiên mệnh để này là đúng!

Bước 2. Giả sử P(k) đúng với một số nguyên dương k nào đó. Xét một đàn mèo gồm k + 1 con. Gọi chúng là $M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k + 1}$ . Bỏ con mèo $M_{k + 1}$ ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm k con là $M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k}$ . Theo giả thiết quy nạp, các con mèo có cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo $M_{k + 1}$ ta bỏ con mèo $M_{1}$ để có đàn mèo gồm k con là $M_{2}, M_{3}, . . ., M_{k + 1}$ . Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo $M_{2}, M_{3}, . . ., M_{k + 1}$ có cùng màu. Cuối cùng, đưa con mèo $M_{1}$ trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu. Theo các lập luận trên: các con mèo $M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k}$ có cùng màu và các con mèo $M_{2}, M_{3}, . . ., M_{k + 1}$ có cùng màu. Từ đó suy ra tất cả các con mèo $M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k + 1}$ đều có cùng màu.

Vậy, theo nguyên lí quy nạp thì P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Nói riêng, nếu gọi N là số mèo hiện tại trên Trái Đất thì việc P(N) đúng cho thấy tất cả các con mèo (trênTrái Đất) đều có cùng màu!

Tất nhiên là ta có thể tỉm được các con mèo khác màu nhau! Theo em thì "lập luận" trên đây sai ở chỗ nào?

Lời giải chi tiết

Lập luận trên sai ở Bước 2.

Cụ thể k = 1, xét đàn mèo gồm k + 1 tức là 2 con. Gọi chúng là $M_{1}, M_{2}$ . Ở bước 2 ta chỉ ra 2 con mèo này luôn cùng màu dựa trên giả thiết P(1) đúng.

Bỏ con mèo $M_{2}$ ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm 1 con là $M_{1}$ . Theo giả thiết quy nạp, 1 con mèo này có cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo $M_{2}$ ta bỏ con mèo $M_{1}$ để có đàn mèo gồm 1 con là $M_{2}$ . Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo $M_{2}$ có cùng màu. Cuối cùng, đưa con mèo $M_{1}$ trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu.

Nhưng theo các lập luận trên ta không suy ra được các con mèo $M_{1}, M_{2}$ có cùng màu (vì không có con mèo cùng màu chung mà mỗi con chỉ cùng màu với chính nó).

Bước 2 sai do ${M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k}} \cap {M_{2}, M_{3}, . . ., M_{k + 1}}$ có thể bằng rỗng (khi k =2) nên không thể suy ra tất cả các con mèo $M_{1}, M_{2}, . . ., M_{k + 1}$ đều có cùng màu.