Giải bài 2.9 trang 23

Đề bài

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đợi chơi được sử dụng tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45g đường, 1 lít nước và 0,5g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15g đường, 1 lít nước và 2g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm hệ bất phương trình từ bài toán trên

- Viết biểu thức về đội chơi được số điểm thưởng.

- Vẽ hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Tìm giá trị lớn nhất của đội chơi được số điểm thưởng.

Lời giải chi tiết

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước loại A và B cần pha chế.

Điều kiện: $x \geq 0, y \geq 0.$

Số hương liệu cần dùng để pha chế hai loại lít nước A và B là: $0, 5 x + 2 y \leq 12.$

Số lít nước cần dùng để pha chế hai loại nước A và B là: $x + y \leq 9.$

Số g đường cần dùng để pha chế hai loại lít nước A và B là: $45 x + 15 y \leq 315.$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 0, 5 x + 2 y \leq 12 \\ x + y \leq 9 \\ 45 x + 15 y \leq 315 \end{matrix} .$

Số điểm thưởng của đội chơi nhận được là: $F (x; y) = 60 x + 80 y \to max$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 0, 5 x + 2 y \leq 12 \\ x + y \leq 9 \\ 45 x + 15 y \leq 315 \end{matrix}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $O x y .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d : x = 0$ chứa điểm $(1; 0) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{1} : y = 0$ chứa điểm $(0; 1) .$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $0.5 x + 2 y \leq 12$ . Vẽ đường thẳng $d_{2} : 0.5 x + 2 y = 12$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$ Chọn $O (0; 0)$ là điểm không thuộc đường thẳng $d_{2}$ và thay vào biểu thức $0, 5 x + 2 y,$ ta được: $0, 5.0 + 2.0 = 0 < 12$ nên miền nghiệm của bất phương trình $0.5 x + 2 y \leq 12$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{2}$ chứa điểm $O (0; 0)$ .

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \leq 9$ . Vẽ đường thẳng $d_{3} : x + y = 9$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$ Chọn $O (0; 0)$ là điểm không thuộc đường thẳng $d_{3}$ và thay vào biểu thức $x + y,$ ta được: $0 + 0 = 0 < 9$ nên miền nghiệm của bất phương trình $x + y = 9$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{3}$ chứa điểm $O (0; 0)$ .

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $45 x + 15 y \leq 315$ . Vẽ đường thẳng $d_{4} : 45 x + 15 y = 315$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$ Chọn $O (0; 0)$ là điểm không thuộc đường thẳng $d_{4}$ và thay vào biểu thức $45 x + 15 y,$ ta được: $45.0 + 15.0 = 0 < 315$ nên miền nghiệm của bất phương trình $45 x + 15 y \leq 315$ là nửa mặt phẳng bờ $d_{4}$ chứa điểm $O (0; 0)$ .

Miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 0, 5 x + 2 y \leq 12 \\ x + y \leq 9 \\ 45 x + 15 y \leq 315 \end{matrix}$ là ngũ giác $O A B C D$ với $A (0; 6), B (4; 5), C (6; 3), D (7; 0)$

Ta có: $F (0; 6) = 60.0 + 80.6 = 480,$

$F (4; 5) = 60.4 + 80.5 = 640,$

$F (0; 0) = 60.0 + 80.0 = 0,$

$F (6; 3) = 60.6 + 80.3 = 600,$

$F (7; 0) = 60.7 + 80.0 = 420.$

$\Rightarrow$ giá trị lớn nhất là $F (4; 5) = 640.$

Vậy vần pha chế 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B thì số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.