Giải bài 2.9 trang 43

Đề bài

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích $5l$. Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m², giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m². Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)?

Lời giải chi tiết

Đổi: 5 lít = 5 $d{m}^3$ = 0,005 $m^3$.

Gọi r (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, r > 0.

h (m) là chiều cao thùng sơn hình trụ, h > 0.

Ta có $V_{tru}=\pi r^{2}h\iff 0,005=\pi r^{2}h\iff h=\frac{0,005}{\pi r^2}$ (m).

Diện tích xung quanh thùng sơn là: $S_{xq}=2\pi rh=2\pi r.\frac{0,005}{\pi r^2}=\frac{0,01}{r}$ $\left(m^2\right)$.

Diện tích đáy thùng sơn là: $S_{day}=\pi r^2$ $\left(m^2\right)$.

Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng sơn là:

$100S_{xq}=100.\frac{0,01}{r}=\frac{1}{r}$ (nghìn đồng).

Giá sản xuất mặt hai mặt đáy của một thùng sơn là:

$\mathrm{120.2.}\pi r^2=240\pi r^2$ (nghìn đồng).

Chi phí sản xuất một thùng sơn là:

$C\left(r\right)=\frac{1}{r}+240\pi r^2$ (nghìn đồng).

Xét $C^{\prime }\left(r\right)=-\frac{1}{r^2}+480\pi r=0\iff 480\pi r=\frac{1}{r^2}\iff 480\pi r^3=1\iff r=\sqrt[3]{3\frac{1}{480\pi }}$.

Bảng biến thiên của hàm số C(r) trên $\left(0;+\infty \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của C(r) là xấp xỉ 17,20105 nghìn đồng.

Ta có $\frac{1000000}{17,20105}\approx 58135,98533$.

Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58135 thùng sơn.