Giải bài 2 trang 10

Đề bài

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Lời giải chi tiết

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có $M^{\prime }=f\left(M\right),N^{\prime }=f\left(N\right).$

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{M^{\prime }H}=\vec{0};\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{K{N}^{\prime }}=\vec{0}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KN}\right)+\left(\overrightarrow{M^{\prime }H}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{K{N}^{\prime }}\right)\\ =\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{M^{\prime }H}\right)+\left(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{K{N}^{\prime }}\right)+2\overrightarrow{HK}\end{array}$

$=\vec{0}+\vec{0}+2\overrightarrow{HK}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$=2\overrightarrow{HK}$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\left(\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{HM}\right)-\left(\overrightarrow{H{N}^{\prime }}-\overrightarrow{H{M}^{\prime }}\right)\\ =\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{HM}-\overrightarrow{H{N}^{\prime }}+\overrightarrow{H{M}^{\prime }}=\left(\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{H{N}^{\prime }}\right)+\left(\overrightarrow{H{M}^{\prime }}-\overrightarrow{HM}\right)=\overrightarrow{N^{\prime }N}+\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\end{array}$

Khi đó 

$\begin{array}{c}{\overrightarrow{MN}}^2-{\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}}^2=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}\right)\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}\right)\\ =2\overrightarrow{HK}\left(\overrightarrow{N^{\prime }N}+\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\right)\\ =2\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{N^{\prime }N}+2\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=2.0+2.0=0\end{array}$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\perp \overrightarrow{HK};\overrightarrow{N{N}^{\prime }}\perp \overrightarrow{HK}$)

Suy ra ${\overrightarrow{MN}}^2={\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}}^2$

Do đó $MN=M^{\prime }{N}^{\prime }\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.