Giải bài 2 trang 103

Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

Đề bài

Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

a) AB // CD;

b) $Δ M N C = Δ M N D;$

c) $\hat{A M D} = \hat{B M C}$ ;

d) $A D = B C, \hat{A} = \hat{B}$ ;

e) $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh AB // CD bằng cách dựa vào đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

b) Chứng minh $Δ M N C = Δ M N D$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

c) Dựa vào kết quả của phần b) để chứng minh $\hat{A M D} = \hat{B M C}$ .

d) Chứng minh $A D = B C, \hat{A} = \hat{B}$ dựa vào cách chứng minh $Δ M A D = Δ M B C$ .

e) Chứng minh $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ dựa vào kết quả của phần d).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên $a ⊥ A B; a ⊥ C D$ .

Suy ra: AB // CD.

b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.

Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.

Vậy $Δ M N C = Δ M N D$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) $Δ M N C = Δ M N D$ nên $\hat{C M N} = \hat{D M N}$ .

Mà $\hat{A M N} = \hat{B M N} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A M N} - \hat{D M N} = \hat{B M N} - \hat{C M N}$ .

Vậy $\hat{A M D} = \hat{B M C}$ .

d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:

MA = MB;

$\hat{A M D} = \hat{B M C}$ ;

MD = MC.

Vậy $Δ M A D = Δ M B C$ (c.g.c). Suy ra: $A D = B C, \hat{A} = \hat{B}$ (cặp cạnh và góc tương ứng).

e) $Δ M A D = Δ M B C$ nên $\hat{A D M} = \hat{B C M}$ (2 góc tương ứng).

$Δ M N C = Δ M N D$ nên $\hat{M C N} = \hat{M D N}$ (2 góc tương ứng).

Vậy $\hat{A D M} + \hat{M D N} = \hat{B C M} + \hat{M C N}$ hay $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ .