Giải bài 2 trang 106 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như hình sau đây. Biết (widehat {BEC} = {40^o}) và (widehat {DFC} = {20^o}), tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như hình sau đây. Biết $\hat{B E C} = 40^{o}$ và $\hat{D F C} = 20^{o}$ , tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tính được $\hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ} - \hat{E} = 140^{\circ}$ , suy ra $\frac{1}{2} (\hat{B O C} + \hat{C O D}) + \frac{1}{2} (\hat{A O B} + \hat{B O C}) = 140^{o}$ , hay $\frac{1}{2} (360^{o} + \hat{B O C} - \hat{A O D}) = 140^{o}$ nên $\hat{D O A} - \hat{B O C} = 80^{o}$ (1)

+ Tương tự tính được $\hat{A O B} - \hat{C O D} = 40^{o}$ (2)

+ Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: $\hat{A O B} + \hat{D O A} - \hat{C O D} - \hat{B O C} = 120^{o}$ hay , biết $s đ \overset{⌢}{D A B} + s đ \overset{⌢}{B C D} = 360^{o}$

+ $\hat{C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{D A B}; \hat{A} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{B C D}$ nên tính được góc C và A.

+ Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta có $\hat{D O A} + \hat{C O D} - \hat{A O B} - \hat{B O C} = 40^{o}$ hay $s đ \overset{⌢}{C D A} - s đ \overset{⌢}{A B C} = 40^{o}$ , biết $s đ \overset{⌢}{C D A} + s đ \overset{⌢}{A B C} = 360^{o}$ .

+ $\hat{B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{C D A}; \hat{D} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A B C}$ nên tính được góc B và góc D.

Lời giải chi tiết

Vì tổng các góc trong tam giác $A D E$ bằng 180^o nên $\hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ} - \hat{E} = 140^{\circ}$ .

Do vậy $\frac{1}{2} (\hat{B O C} + \hat{C O D}) + \frac{1}{2} (\hat{A O B} + \hat{B O C}) = 140^{o}$

Suy ra $\frac{1}{2} (360^{o} + \hat{B O C} - \hat{A O D}) = 140^{o}$ , hay $\hat{D O A} - \hat{B O C} = 80^{o}$ (1)

Mặt khác, tổng các góc trong tam giác ABF bằng 180^o nên $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} - \hat{F} = 160^{\circ}$ .

Do vậy $\frac{1}{2} (\hat{B O C} + \hat{C O D}) + \frac{1}{2} (\hat{C O D} + \hat{D O A}) = 160^{o}$

Suy ra $\frac{1}{2} (360^{o} + \hat{C O D} - \hat{A O B}) = 160^{o}$ , hay $\hat{A O B} - \hat{C O D} = 40^{o}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được $\hat{A O B} + \hat{D O A} - \hat{C O D} - \hat{B O C} = 120^{o}$

hay $s đ \overset{⌢}{D A B} - s đ \overset{⌢}{B C D} = 120^{o}$ , chú ý rằng $s đ \overset{⌢}{D A B} + s đ \overset{⌢}{B C D} = 360^{o}$

Suy ra: $\hat{C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{D A B} = \frac{120^{o} + 360^{o}}{4} = 120^{o}$ ; $\hat{A} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{B C D} = \frac{360^{o} - 120^{o}}{4} = 60^{o}$ .

Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được $\hat{D O A} + \hat{C O D} - \hat{A O B} - \hat{B O C} = 40^{o}$

hay $s đ \overset{⌢}{C D A} - s đ \overset{⌢}{A B C} = 40^{o}$ , chú ý rằng $s đ \overset{⌢}{C D A} + s đ \overset{⌢}{A B C} = 360^{o}$

Suy ra: $\hat{B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{C D A} = \frac{40^{o} + 360^{o}}{4} = 100^{o}$ ; $\hat{D} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A B C} = \frac{360^{o} - 40^{o}}{4} = 80^{o}$ .