Giải bài 2 trang 111

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\hat{I A B} + \hat{I B C} + \hat{I C A} = 90^{\circ}$ ;

b) $\hat{B I C} = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \hat{B A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào tính chất của đường phân giác: chia các góc tại các đỉnh thành hai góc bằng nhau.

b) Dựa vào kết quả của phần a).

Lời giải chi tiết

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:

$\hat{I A B} = \hat{I A C}; \hat{I B A} = \hat{I B C}; \hat{I C B} = \hat{I C A}$ .

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

$\begin{array}{l} \hat{B A C} + \hat{A C B} + \hat{C B A} = 180^{\circ} \\ \hat{I A B} + \hat{I A C} + \hat{I B A} + \hat{I B C} + \hat{I C B} + \hat{I C A} = 180^{\circ} \\ 2 \hat{I A B} + 2 \hat{I B C} + 2 \hat{I C A} = 180^{\circ} \end{array}$

Vậy $\hat{I A B} + \hat{I B C} + \hat{I C A} = 90^{\circ}$ .

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

$\begin{array}{l} \hat{B I C} + \hat{I B C} + \hat{I C B} = 180^{\circ} \\ \hat{B I C} = 180^{\circ} - (\hat{I B C} + \hat{I C B}) \end{array}$ .

Mà $\hat{I A B} + \hat{I B C} + \hat{I C A} = 90^{\circ}$ → $\hat{I B C} + \hat{I C A} = 90^{\circ} - \hat{I A B}$ .

Vậy: $\begin{array}{l} \hat{B I C} = 180^{\circ} - (\hat{I B C} + \hat{I C B}) \\ \hat{B I C} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{I A B}) \\ \hat{B I C} = 90^{\circ} + \hat{I A B} \end{array}$

Mà $\hat{I A B} = \frac{1}{2} \hat{B A C}$ (IA là phân giác của góc BAC).

Vậy $\hat{B I C} = 90^{\circ} + \hat{I A B} = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \hat{B A C}$ .