Giải bài 2 trang 13

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ x - 3 y = 2 \\ 2 x + y - z = 3 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 3 y + 2 z = 8 \\ 3 x - y + z = 4 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x - y + 5 z = - 2 \\ 2 x + y + 4 z = 2 \\ x + 2 y - z = 4 \end{cases}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:

+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0

+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ

+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.

Lời giải chi tiết

a) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 (1) \\ x - 3 y = 2 (2) \\ 2 x + y - z = 3 (3) \end{cases}$

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

${\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 (1) \\ 3 x = 6 (2.1) \\ 2 x + y - z = 3 (3) \end{cases}$

Từ phương trình (2.1) ta có $x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được $y = 0$

Thay $x = 2$ và $y = 0$ vào phương trình (3) ta được $z = 1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(2; 0; 1)$

b) ${\begin{cases} x + y + z = 2 (1) \\ x + 3 y + 2 z = 8 (2) \\ 3 x - y + z = 4 (3) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

${\begin{cases} x + y + z = 2 (1) \\ 2 y + z = 6 (2.1) \\ 3 x - y + z = 4 (3) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

${\begin{cases} x + y + z = 2 (1) \\ 2 y + z = 6 (2.1) \\ - 4 y - 2 z = - 2 (3.1) \end{cases}$

Rút gọn phương trình (3.1) thành phương trình (3.2) bằng cách chia hai vế cho -2:

${\begin{cases} x + y + z = 2 (1) \\ 2 y + z = 6 (2.1) \\ 2 y + z = 1 (3.2) \end{cases}$

Từ phương trình (2.1) và (3.2) suy ra 6 = 1 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) ${\begin{cases} x - y + 5 z = - 2 (1) \\ 2 x + y + 4 z = 2 (2) \\ x + 2 y - z = 4 (3) \end{cases}$

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

${\begin{cases} x - y + 5 z = - 2 (1) \\ 2 x + y + 4 z = 2 (2) \\ 2 x + y + 4 z = 2 (3.1) \end{cases}$

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

${\begin{cases} x - y + 5 z = - 2 (1) \\ 2 x + y + 4 z = 2 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1), ta có $y = x + 5 z + 2$ (4), thay vào phương trình (2) ta được $2 x + (x + 5 z + 2) + 4 z = 2 \Leftrightarrow 3 x + 9 z = 0 \Leftrightarrow x = - 3 z$

Thay vào (4), được: $y = 2 z + 2$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng $(- 3 z; 2 z + 2; z)$ với $z \in R$ .