Giải bài 2 trang 17

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=x^3-8x^2-12x+1$ trên đoạn $\left[-2;9\right]$;

b) $y=-2x^3+9x^2-17$ trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$;

c) $y=x^3-12x+4$ trên đoạn $\left[-6;3\right]$;

d) $y=2x^3-x^2-28x-3$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$;

e) $y=-3x^3+4x^2-5x-17$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-8x^2-12x+1$ trên đoạn $\left[-2;9\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-16x-12$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=6$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$.

$f\left(-2\right)=-15;f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{139}{27};f\left(6\right)=-143;f\left(9\right)=-26$

Vậy $\underset{\left[-2;9\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{139}{27},\underset{\left[-2;9\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(6\right)=-143$.

b) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-2x^3+9x^2-17$ trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-6x^2+18x$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(-\infty ;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-17$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left(-\infty ;4\right]$.

c) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-12x+4$ trên đoạn $\left[-6;3\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2$ hoặc $x=-2$.

$f\left(-6\right)=-140;f\left(-2\right)=20;f\left(2\right)=-12;f\left(3\right)=-5$

Vậy $\underset{\left[-6;3\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=20,\underset{\left[-6;3\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-6\right)=-140$.

d) Xét hàm số $y=2x^3-x^2-28x-3$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-2x-28$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{7}{3}$ (loại) hoặc $x=-2$.

$f\left(-2\right)=33;f\left(1\right)=-30$

Vậy $\underset{\left[-2;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=33,\underset{\left[-2;1\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(1\right)=-30$.

e) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-3x^3+4x^2-5x-17$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-9x^2+8x-5=-9{\left(x-\frac{4}{9}\right)}^2-\frac{29}{9}<0,\forall x\in \left[-1;2\right]$

$f\left(-1\right)=-5;f\left(2\right)=-35$

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(-1\right)=-5,\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-35$.