Giải bài 2 trang 19

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình $x - y = 0$ và cho điểm $M (x_{0}; y_{0}) .$ Tìm tọa độ điểm $M^{'} = Đ_{d} (M) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét hai trường hợp: $M \in d$ hoặc $M \notin d .$

Lời giải chi tiết

Trường hợp 1: $M \in d$

Khi đó $M = Đ_{d} (M) .$

Vì vậy $M^{'} \equiv M .$

Do đó $M^{'} (x_{0}; y_{0}) .$

Trường hợp 2: $M \notin d .$

Theo đề, ta có $M^{'} = Đ_{d} (M) .$

Suy ra d là đường trung trực của đoạn MM’, do đó $d ⊥ M M^{'} .$

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$

Vì vậy MM’ nhận ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình MM’: ${\begin{array}{l} x = x_{0} + t \\ y = y_{0} - t \end{array}$

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Suy ra H là trung điểm MM’ và tọa độ $H (x_{0} + t; y_{0} - t) .$

Ta có $H \in d .$

Suy ra $x_{0} + t - y_{0} + t = 0.$

$t = \frac{y_{0} - x_{0}}{2}$

Do đó tọa độ $H (\frac{x_{0} + y_{0}}{2}; \frac{x_{0} + y_{0}}{2})$

Ta có H là trung điểm MM’.

Suy ra ${\begin{array}{l} x_{M^{'}} = 2 x_{H} - x_{M} = 2. \frac{x_{0} + y_{0}}{2} - x_{0} = y_{0} \\ y_{M^{'}} = 2 y_{H} - y_{M} = 2. \frac{x_{0} + y_{0}}{2} - y_{0} = x_{0} \end{array}$

Do đó tọa độ

Vậy ${\begin{array}{l} M^{'} (x_{0}; y_{0}) k h i M \in d \\ M^{'} (y_{0}; x_{0}) k h i M \notin d \end{array}$