Giải bài 2 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho phương trình ({x^2} - x - 1 = 0). Không giải phương trình, hãy tính: a) Tổng và tích các nghiệm. b) Tổng các nghịch đảo của các nghiệm.

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} - x - 1 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

a) Tổng và tích các nghiệm.

b) Tổng các nghịch đảo của các nghiệm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xét phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

+ Tính biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

+ Nếu $Δ \geq 0$ thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

b) Biến đổi $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ (*), thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ vào biểu thức (*) để tính.

Lời giải chi tiết

Ta có: $Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 1) = 5 > 0$ .

Do đó, phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ .

a) Áp dụng định lí Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 1}{1} = 1; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{1} = - 1.$

b) Ta có:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{- 1} = - 1$ .