Giải bài 2 trang 29

Đề bài

Cho $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}$ và $T_n=2-\frac{1}{2^n}$, với $n\in N\ast$

a) So sánh $S_1$ và $T_1$; $S_2$ và $T_2$;$S_3$ và $T_3$.

b) Dự đoán công thức tính $S_n$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) $S_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$; $T_1=2-\frac{1}{2^1}=\frac{3}{2}$

Do đó $S_1=T_1$

$S_2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=\frac{7}{4}$; $T_2=2-\frac{1}{2^2}=\frac{7}{4}$

Do đó $S_2=T_2$

$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=\frac{15}{8}$; $T_3=2-\frac{1}{2^3}=\frac{15}{8}$

Do đó $S_3=T_3$

b) Dự doán: $S_n=T_n$ từ đó có công thức tính $S_n=2-\frac{1}{2^n}$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $n=1$ ta có $S_1=2-\frac{1}{2^1}$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$S_{k+1}=2-\frac{1}{2^{k+1}}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$S_k=2-\frac{1}{2^k}$

Suy ra

$\begin{array}{c}{S}_{k+1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{k+1}}=S_k+\frac{1}{2^{k+1}}\\ =2-\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=2-\frac{2}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}}=2-\frac{1}{2^{k+1}}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$.