Giải bài 2 trang 31

Đề bài

Cho hàm số $y=\left(m-1\right)x^3+2\left(m+1\right)x^2-x+m-1$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=-1$.

b) Tìm giá trị của $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ $x_0=-2$.

Lời giải chi tiết

a) Với $m=-1$, hàm số có dạng: $y=\left(-1-1\right)x^3+2\left(-1+1\right)x^2-x-1-1$ hay $y=-2x^3-x-2$.

1. Tập xác định: $R$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y^{\prime }=-6x^2-1<0,\forall x\in R$.

Do $y^{\prime }<0$ trên $R$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số đã cho không có cực trị:

• Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^3\left(-2-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^3\left(-2-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=-\infty$.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(-1;1\right),\left(0;-2\right),\left(1;-5\right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left(-2;0\right)$.

b) $y^{\prime }=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m+1\right)x-1;y^{\prime \prime }=6\left(m-1\right)x+4\left(m+1\right)$

$y^{\prime \prime }=0$ $\iff \{\begin{array}{c}m-1\ne 0\\ x=\frac{-2\left(m+1\right)}{3\left(m-1\right)}\end{array}$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ $x=-2$

$\iff \{\begin{array}{c}m-1\ne 0\\ x=\frac{-2\left(m+1\right)}{3\left(m-1\right)}=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 1\\ m=2\end{array}\iff m=2$.