Giải bài 2 trang 35

Đề bài

Hình 4 minh hoạ một màn hình $B C$ có chiều cao 1,4 m được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $B A = 1, 8$ m. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất. Hãy tính khoảng cách $A O$ sao cho góc quan sát $B O C$ là lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Do góc $\hat{B O C}$ là góc của tam giác nên $0^{0} < \hat{B O C} < 180^{0}$ khi đó $\hat{B O C}$ càng lớn thì $\tan \hat{B O C}$ cũng càng lớn nên ta sẽ đưa về tìm AO để $\tan \hat{B O C}$ lớn nhất.

+) Ta cần biểu thị $\tan \hat{B O C}$ qua các đoạn thẳng đã và qua AO. Sử dụng công thức:

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a . \tan b}$ ; trong đó $\hat{B O C} = \hat{A O C} - \hat{A O B}$

+) Ta được $\tan \hat{B O C}$ được tính bằng 1 biểu thức chứa $x$ . Khi đó ta xét hàm số tương ứng và tìm giá trị lớn nhất của nó.

Lời giải chi tiết

Để góc quan sát $\hat{B O C}$ lớn nhất thì $\tan \hat{B O C}$ là lớn nhất.

Giả sử $A O = x$ (m) $(x > 0) .$

Ta có $\tan \hat{B O C} = \tan (\hat{A O C} - \hat{A O B}) = \frac{\tan \hat{A O C} - \tan \hat{A O B}}{1 + \tan \hat{A O C} . \tan \hat{A O B}}$

$\tan \hat{B O C} = \frac{\frac{A C}{A O} - \frac{A B}{A O}}{1 + \frac{A C}{A O} . \frac{A B}{A O}} = \frac{\frac{1, 4}{x}}{1 + \frac{1, 8 + 1, 4}{x} . \frac{1, 8}{x}} = \frac{1, 4 x}{x^{2} + 5, 76} .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{1, 4 x}{x^{2} + 5, 76},$ $x \in (0; + \infty) .$

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1, 4 (x^{2} + 5, 76) - 1, 4 x .2 x}{{(x^{2} + 5, 76)}^{2}} = \frac{- 1, 4 x^{2} + 8, 064}{{(x^{2} + 5, 76)}^{2}} .$

Do đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2, 4$ (do $x > 0$ ).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $max_{(0; + \infty)} f (x) = f (2, 4) = \frac{7}{24}$ tại $x = 2, 4.$

Vậy để góc quan sát $\hat{B O C}$ lớn nhất thì khoảng cách $A O = 2, 4$ mét.