Giải bài 2 trang 36

Đề bài

Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là $10l$, Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Giả sử cạnh của hộp là: $x\left(dm\right)$, chiều cao của hộp là: $h\left(dm\right)$.

Thể tích của hộp là: $V=x^2.h=10\iff h=\frac{10}{x^2}$.

Diện tích toàn phần của hình hộp là $S=2x^2+4x.h=2x^2+4x.\frac{10}{x^2}=2x^2+\frac{40}{x}\left(d{m}^2\right)$

Xét hàm số $S\left(x\right)=2x^2+\frac{40}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Ta có: $S^{\prime }\left(x\right)=4x-\frac{40}{x^2};S^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\sqrt[3]{310}$.

Bảng biến thiên:

$V\left(0\right)=0;V\left(2\right)=128;V\left(6\right)=0$

Vậy $\underset{\left[0;6\right]}{max}V\left(x\right)=V\left(2\right)=128$.

Vậy với $x=2\left(cm\right)$ thì thể tích của hình hộp là lớn nhất.