Giải bài 2 trang 40

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi $n\in N^{\ast }$:

a) $3^n-1-2n$ chia hết cho 4.

b) $7^n-4^n-3^n$ chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết

a) Với $n=1$ ta có $3^1-1-2=0⋮4$.

Vậy khẳng định đúng với $n=1$.

Giải sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ta có $3^k-1-2k$ chia hết cho 4.

Ta chứng minh khẳng định đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $3^{k+1}-1-2(k+1)$ chia hết cho 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$3^{k+1}-1-2(k+1)=3^{k+1}-3-2k=3.\underset{⋮4}{\underset{}{\left(3^k-1-2k\right)}}+4k$ chia hết cho 4.

Vậy khẳng định đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

b) Với $n=1$ ta có $7^1-4^1-3^1=0⋮12$.

Vậy khẳng định đúng với $n=1$.

Giải sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ta có $7^k-4^k-3^k$ chia hết cho 12.

Ta chứng minh khẳng định đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $7^{k+1}-4^{k+1}-3^{k+1}$ chia hết cho 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý $k\ge 1$, ta có:

$7^{k+1}-4^{k+1}-3^{k+1}={7.7}^k-{4.4}^k-{3.3}^k=7\underset{⋮12}{\underset{}{\left(7^k-4^k-3^k\right)}}+\underset{⋮12}{\underset{}{{3.4}^k}}+\underset{⋮12}{\underset{}{{4.3}^k}}$ chia hết cho 12.

Vậy khẳng định đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.