Giải bài 2 trang 40

Đề bài

Cho ∆ABC đều có cạnh bằng 2. Qua ba phép biến hình liên tiếp: Phép tịnh tiến, phép quay $Q_{(B, 60^{\circ})},$ phép vị tự $V_{(A, 3)},$ ∆ABC biến thành $Δ A_{1} B_{1} C_{1} .$ Tìm diện tích $Δ A_{1} B_{1} C_{1} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} B C . B A . \sin B = \frac{1}{2} C A . C B . \sin C$

Lời giải chi tiết

Ta có $Δ$ ABC đều có cạnh bằng 2. Suy ra $A B = A C = 2$ và $\hat{B A C} = 60^{o}$ .

Vì phép tịnh tiến và phép quay đều là phép dời hình nên ảnh của $Δ$ ABC qua phép tịnh tiến $T_{\vec{B C}}$ và phép quay $Q_{(B, 60^{\circ})}$ đều có các kích thước bằng các kích thước tương ứng của $Δ$ ABC.

Gọi f là phép biến hình có được bằng thực hiện hai phép biến hình liên tiếp là phép tịnh tiến và phép quay $Q_{(B, 60^{\circ})} .$

Suy ra f là phép dời hình.

Do đó phép đồng dạng tỉ số 3 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép dời hình f và phép vị tự $V_{(A, 3)}$ biến $Δ$ ABC thành $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 3 biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1} .$

Khi đó $A_{1} B_{1} = 3 A B = 3.2 = 6$ và $A_{1} C_{1} = 3 A C = 3.2 = 6.$

Vì $Δ$ ABC và $Δ$ A₁B₁C₁ đồng dạng với nhau nên $\hat{B_{1} A_{1} C_{1}} = \hat{B A C} = 60^{o}$

Ta có $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1} . A_{1} C_{1} . \sin \hat{B_{1} A_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} .6 .6 . \sin 60^{o} = 9 \sqrt{3}$

Vậy diện tích $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ bằng $9 \sqrt{3}$ .