Giải bài 2 trang 45

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1; - 2)$ ;

b) $(P)$ đi qua điểm $N (- 2; 3; 0)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 1), \vec{v} = (3; 0; 4)$ .

c) $(P)$ đi qua ba điểm $A (1; 2; 2), B (5; 3; 2), C (2; 4; 2)$ ;

d) $(P)$ cắt ba trục toạ độ lần lượt tại các điểm $M (3; 0; 0), N (0; 1; 0), P (0; 0; 2)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ là

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

hay $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}, \vec{b}$ :

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ :

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

‒ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a, b, c \neq 0$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$3 (x - 1) + (y - 2) - 2 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - 2 z + 1 = 0$ .

b) Ta có: $[\vec{u}, \vec{v}] = (1.4 - 1.0; 1.3 - 1.4; 1.0 - 1.3) = (4; - 1; - 3)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$4 (x + 2) - (y - 3) - 3 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4 x - y - 3 z + 11 = 0$ .

c) Ta có: $\vec{A B} = (4; 1; 0), \vec{A C} = (1; 2; 0)$ .

Khi đó, $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1.0 - 0.2; 0.1 - 4.0; 4.2 - 1.1) = (0; 0; 7)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$0 (x - 1) + 0 (y - 2) + 7 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 7 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow z - 2 = 0$ .

d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $M (3; 0; 0), N (0; 1; 0), P (0; 0; 2)$ là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2 x + 6 y + 3 z = 6 \Leftrightarrow 2 x + 6 y + 3 z - 6 = 0$ .