Giải bài 2 trang 45

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM (M∈BC)(M∈BC)\left( {M \in BC} \right). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh:

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM $(M \in B C)$ . Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh:

a) $E F = F B$ ;

b) $A E = \frac{1}{3} A B$ ;

c) $C E = 4 E I$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác BCE có: $M B = M C$ , MF//CE nên $E F = F B$

b) Tam giác AFM có: $A I = I M$ , EI//FM nên $A E = E F$

Do đó, $A E = E F = F B$ . Vậy $A E = \frac{1}{3} A B$

c) Tam giác BCE có: $M B = M C$ , $E F = F B$ nên MF là đường trung bình của tam giác. Do đó, $C E = 2 M F$ .

Tam giác AFM có: $A I = I M$ , $A E = E F$ nên IE là đường trung bình của tam giác AMF. Do đó, $M F = 2 E I .$

Vậy $C E = 4 E I$