Giải bài 2 trang 48

Đề bài

Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có nửa tiêu cự bằng $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

Với mỗi điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm $F_{1}$ là $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{0}$ , ứng với tiêu điểm $F_{2}$ là $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x_{0}$

Mặt khác $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip nên $- a \leq x_{0} \leq a$ .

$\Rightarrow {\begin{cases} a - c \leq M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{0} \leq a + c \\ a - c \leq M F_{2} = a - \frac{c}{a} x_{0} \leq a + c \end{cases}$

Hơn nữa,

$\begin{array}{l} M F_{1} = a - c \Leftrightarrow x_{0} = - a, y_{0} = 0 \\ M F_{1} = a + c \Leftrightarrow x_{0} = a, y_{0} = 0 \\ M F_{2} = a - c \Leftrightarrow x_{0} = a, y_{0} = 0 \\ M F_{1} = a + c \Leftrightarrow x_{0} = - a, y_{0} = 0 \end{array}$

Vậy $M F_{1}$ nhỏ nhất bằng $a - c$ khi M trùng $A_{1} (- a; 0)$ và lớn nhất bằng $a + c$ khi M trùng $A_{2} (a; 0)$ ; $M F_{2}$ nhỏ nhất bằng $a - c$ khi M trùng $A_{2} (a; 0)$ và lớn nhất bằng $a + c$ khi M trùng $A_{1} (- a; 0)$ .