Giải bài 2 trang 57

Đề bài

Cho hình thang ABCD $\left(AB\parallel CD\right)$ có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a)      Chứng minh $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$;

b)     Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Lời giải chi tiết

a)      Vì $d\parallel CD$ nên $MP\parallel CD$

Xét tam giác ADC với $MP\parallel CD$ có: $\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}\left(1\right)$ (Định lý Thales)

Vì $d\parallel AB$ nên $PN\parallel AB$

Xét tam giác ABC với $PN\parallel AB$ có: $\frac{BN}{NC}=\frac{AP}{PC}\left(2\right)$ (Định lý Thales)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$.

b)     Vì $MD=2MA$ nên $\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Xét tam giác ADC với $MP\parallel CD$ có: $\frac{AM}{AD}=\frac{MP}{DC}$ (Hệ quả định lý Thales)

$\Rightarrow \frac{MP}{DC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MP=\frac{1}{3}DC=2cm$

Vì $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AP}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{PC}{CA}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác ABC với $PN\parallel AB$ có: $\frac{CP}{CA}=\frac{PN}{AB}$ (Hệ quả định lý Thales)

$\Rightarrow \frac{PN}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow PN=\frac{2}{3}AB=\frac{8}{3}cm$

Mà $MN=MP+PM=2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}cm$.