Giải bài 2 trang 64

Cho hai mặt phẳng (α):x−y+nz−−3=0(α):x−y+nz−−3=0\left( \alpha \right):x - y + nz--3 = 0 và (β):2x+my+2z+6=0(β):2x+my+2z+6=0\left( \beta \right):2x + my + 2z + 6 = 0. Với giá trị nào của m,nm,nm,n thì (α)(α)\left( \alpha \right) song song với (β)(β)\left( \beta \right)?

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $(α) : x - y + n z - - 3 = 0$ và $(β) : 2 x + m y + 2 z + 6 = 0$ .

Với giá trị nào của $m, n$ thì $(α)$ song song với $(β)$ ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai mặt phẳng $(α_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ và $(α_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó $(α_{1}) ∥ (α_{2}) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in R)$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (1; - 1; n)$ , mặt phẳng $(β)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (2; m; 2)$ .

$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow (α_{1}) ∥ (α_{2}) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 = k .2 \\ - 1 = k . m \\ n = k .2 \\ - 3 \neq k .6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} k = \frac{1}{2} \\ m = - 2 \\ n = 1 \end{cases}$ .