Giải bài 2 trang 65

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu tiêu và tìm tâm sai của (E)

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a}$

b Parabol (P) $y^{2} = 2 p x$ có tiêu điểm: $F (\frac{p}{2}; 0)$

c) Hypebol (H) $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$

Lời giải chi tiết

a) Elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ có $a = 5, b = 3 \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 4$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- 5; 0), A_{2} (5; 0), B_{1} (0; - 3), B_{2} (0; 3) .$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- 4; 0), F_{2} (4; 0),$

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$

b) Parabol (P) $y^{2} = 2 p x$ có tiêu điểm: $F (\frac{p}{2}; 0) \equiv F_{2} (4; 0)$ suy ra $\frac{p}{2} = 4$ hay $p = 8$

Vậy PTCT của (P) là: $y^{2} = 16 x$

c) Hypebol (H) $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$ trùng với $A_{1} (- 5; 0), A_{2} (5; 0)$ tức là $c = 5$

+ 2 đỉnh $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0)$ trùng với $F_{1} (- 4; 0), F_{2} (4; 0),$ tức là $a = 4$

$\Rightarrow$ Tâm sai của (H) là $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$