Giải bài 2 trang 65

Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh $A N = C M .$

c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu của hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu của hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

c) Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) nên $A D = B C$ , AD//CB. Do đó, $\hat{H D A} = \hat{K B C}$ (hai góc so le trong)

Vì $H A ⊥ B D$ nên $\hat{A H D} = \hat{A H B} = 90^{0}$

Vì $C K ⊥ B D$ nên $\hat{B K C} = \hat{D K C} = 90^{0}$

Tam giác ADH và tam giác CKB có:

$\hat{A H D} = \hat{C K B} = 90^{0}$ , $\hat{H D A} = \hat{K B C}$ (cmt), $A D = B C$

Do đó, $Δ A D H = Δ C B K (c h - g n)$ . Suy ra $A H = K C$ .

Tứ giác AHCK có: AH//CK (cùng vuông góc với BD), $A H = K C$ nên tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AHCK là hình bình hành nên AK//HC hay AM//NC

Tứ giác ANCM có: AM//NC (cmt), AN//CM (cmt)

Do đó, tứ giác ANCM là hình bình hành.

Suy ra: $A N = C M .$

c) Vì tứ giác AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm O của HK nên O là trung điểm của AC.

Vì tứ giác ANCM là hình bình hành nên hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm O của AC nên O là trung điểm của MN. Do đó, M, O, N thẳng hàng.