Giải bài 2 trang 70

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) $(C_{1}) : 4 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

b) $(C_{2}) : 16 x^{2} - 4 y^{2} = 144$

c) $(C_{3}) : x = \frac{1}{8} y^{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định dạng phương trình của đường conic nào

+) Có dạng $a x^{2} + b y^{2} = 1$ là dạng đường elip

+) Có dạng $a x^{2} - b y^{2} = 1$ là dạng đường hypebol

+) Có dạng $y^{2} = a x$ là dạng đường parabol

Bước 2: Đưa về phương trình chính tắc và tìm tọa độ biết phương trình chính tắc có dạng

+) $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ là đường elip

+) $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ là đường hypebol

+) $y^{2} = 2 p x$ là đường parabol

Bước 3: Xác định tiêu điểm của các đường conic

+) Elip: $F_{1} (- c; 0)$ và $F_{2} (c; 0)$

+) Hypebol: $F_{1} (- c; 0)$ và $F_{2} (c; 0)$

+) Parabol: $F (\frac{p}{2}; 0)$

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy phương trình có dạng $a x^{2} + b y^{2} = 1$ nên phương trình $(C_{1}) : 4 x^{2} + 16 y^{2} = 1$ là phương trình của đường elip

Từ phương trình $(C_{1}) : 4 x^{2} + 16 y^{2} = 1$ ta có phương trình chính tắc là $(C_{1}) : \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra tiêu điểm của elip này là $F_{1} (- \frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$ và $F_{2} (\frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$

b) Ta thấy phương trình có dạng $a x^{2} - b y^{2} = 1$ nên phương trình $(C_{2}) : 16 x^{2} - 4 y^{2} = 144$ là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình $(C_{2}) : 16 x^{2} - 4 y^{2} = 144$ ta có phương trình chính tắc là $(C_{1}) : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a = 3, b = 6 \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{5}$

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là $F_{1} (- 3 \sqrt{5}; 0)$ và $F_{2} (3 \sqrt{5}; 0)$

c) Phương trình $(C_{3}) : x = \frac{1}{8} y^{2}$ có dạng $y^{2} = a x$ nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là $y^{2} = 8 x$

Từ phương trình chính tắc ta có: $2 p = 8 \Rightarrow p = 4$

Suy ra tiêu điểm là $F (2; 0)$