Giải bài 2 trang 70

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) $\left(C_1\right):4x^2+16y^2=1$

b) $\left(C_2\right):16x^2-4y^2=144$

c) $\left(C_3\right):x=\frac{1}{8}{y}^2$

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2+b{y}^2=1$ nên phương trình $\left(C_1\right):4x^2+16y^2=1$ là phương trình của đường elip

Từ phương trình $\left(C_1\right):4x^2+16y^2=1$ ta có phương trình chính tắc là $\left(C_1\right):\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra tiêu điểm của elip này là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$

b) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2-b{y}^2=1$ nên phương trình $\left(C_2\right):16x^2-4y^2=144$ là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình $\left(C_2\right):16x^2-4y^2=144$ ta có phương trình chính tắc là $\left(C_1\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=3,b=6\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là $F_1\left(-3\sqrt{5};0\right)$ và $F_2\left(3\sqrt{5};0\right)$

c) Phương trình $\left(C_3\right):x=\frac{1}{8}{y}^2$ có dạng $y^2=ax$ nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là $y^2=8x$

Từ phương trình chính tắc ta có: $2p=8\Rightarrow p=4$

Suy ra tiêu điểm là $F(2;0)$