Giải bài 2 trang 72

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-2;3), B(4; 5), C(2;- 3). a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-2; 3), B(4; 5), C(2; -3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}, y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}, y_{2})$ ( $\vec{v} \neq 0$ ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho $x_{1} = k x_{2}$ và $y_{1} = k y_{2}$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ G là:

$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .

c) Tính tất cả các cạnh và các góc của tam giác ABC:

$\vec{a} = (x; y) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Với hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}, y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}, y_{2})$ đều khác vectơ không, ta có:

+ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} = 0$ .

+ $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} = (6; 2)$ , $\vec{A C} = (4; - 6)$ .

Do $\vec{A B} \neq k . \vec{A C}$ nên A, B, C không thẳng hàng

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{- 2 + 4 + 2}{3} = \frac{4}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + 5 + (- 3)}{3} = \frac{5}{3} \end{cases}$

Vậy $G (\frac{4}{3}; \frac{5}{3})$ .

c) Ta có: $\vec{A B} = (6; 2)$ , $\vec{A C} = (4; - 6)$ , $\vec{B C} = (- 2; - 8)$ .

Suy ra:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40}$ ;

$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{52}$ ;

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{68}$ .

Ta có:

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= \frac{6.4 + 2. (- 6)}{\sqrt{6^{2} + 2^{2}} . \sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2}}} \approx 0, 263$ .

$\Rightarrow \hat{B A C} \approx 74^{o}$ .

$\cos \hat{A B C} = \cos (\vec{B A}, \vec{B C})$

$= \frac{(- 6) . (- 2) + (- 2) . (- 8)}{\sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 8)}^{2}}} \approx 0, 537$ .

$\Rightarrow \hat{A B C} \approx 57^{o}$ .

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác ta có:

$\hat{A C B} \approx 180^{o} - 74^{o} - 57^{o} \approx 49^{o}$ .