Giải bài 2 trang 75

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1$

b) $(C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225$

c) $(C_{3}) : x = 2 y^{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , phương trình đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$

Lời giải chi tiết

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{7}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{13}} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{7}; b^{2} = \frac{1}{13}$

$\Rightarrow c^{2} = a^{2} - b^{2} = \frac{1}{7} - \frac{1}{13} = \frac{6}{91} \Rightarrow c = \sqrt{\frac{6}{91}}$

$(C_{1})$ là elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{\frac{6}{91}}; 0), F_{2} (\sqrt{\frac{6}{91}}; 0)$

b) $\begin{array}{l} (C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225 \Rightarrow \frac{25 x^{2}}{225} - \frac{9 y^{2}}{225} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1 \\ \Rightarrow a^{2} = 9; b^{2} = 25; c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 25 = 34 \Rightarrow c = \sqrt{34} \end{array}$

$(C_{2})$ là hypebol có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{34}; 0), F_{2} (\sqrt{34}; 0)$

c) $(C_{3}) : x = 2 y^{2} \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{2} x \Rightarrow p = \frac{1}{4}$

$(C_{3})$ là parabol có tiêu điểm $F (\frac{1}{8}; 0)$