Giải bài 2 trang 82

Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh ABCD là hình thang cân.

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh ABCD là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.

Chứng minh O cách đều các đỉnh của hình thang ABCD suy ra MN là trung trực của AB và CD.

Khi đó, chứng minh $\hat{A O M} = \hat{B O M}$ ; $\hat{D O N} = \hat{C O N}$ suy ra $\hat{A O D} = \hat{B O C}$ .

Chứng minh $Δ$ AOD = $Δ$ BOC suy ra AD = BC.

Lời giải chi tiết

Qua điểm O vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.

Ta có OA = OB = OC = OD = R, suy ra MN là đường trung trực của AB và CD.

Tam giác AOB cân tại O có OM là đường trung trực nên OM cũng là đường phân giác, suy ra $\hat{A O M} = \hat{B O M}$ .

Tương tự, $\hat{D O N} = \hat{C O N}$ .

Khi đó, ta có:

$\hat{A O M} + \hat{A O D} + \hat{D O N} = \hat{B O M} + \hat{B O C} + \hat{C O N} = 180^{o}$

suy ra $\hat{A O D} = \hat{B O C}$ .

Xét $Δ$ AOD và $Δ$ BOC có:

OA = OB

$\hat{A O D} = \hat{B O C}$

OC = OD

Suy ra $Δ$ AOD = $Δ$ BOC (c.g.c). Dó đó AD = BC.

Vậy ABCD là hình thang cân.