Giải bài 20 trang 109

Đề bài

Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I

của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:

a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn.

b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi M là trung điểm của BC.

Áp dụng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền (tam giác IBC và DBC) để suy ra $M B = M C = M D = M I$ .

b) Bước 1: Chứng minh $\hat{D C B} = \hat{O B C} (= \hat{O C B})$ .

Bước 2: $\hat{D C B} + \hat{C B D} = \hat{C B O} + \hat{C B D} = \hat{O B D} = 90^{\circ}$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác OAB có: $O A = O B$ (đều bằng bán kính (O)) nên tam giác OAB cân tại O, mà I là trung điểm của AB nên OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác OAB, do đó $O I ⊥ A B$ .

Lấy M là trung điểm của CB nên DM, IM lần lượt là đường trung tuyến của 2 tam giác vuông IBC và DCB, nên ta có $M B = M C = M D = M I = \frac{B C}{2}$ .

Do đó 4 đỉnh của tứ giác BDCI cung nằm trên một đường tròn đường kính BC.

b) Để giải phương trình trên, ta giải 2 phương trình sau:

Xét tam giác OBC có $O B = O C$ (cùng bằng bán kính (O)) nên $\hat{O C B} = \hat{O B C}$ (1)

Xét (C; CI) có AB vuông góc với CI tại I nên AB là tiếp tuyến của (C; CI).

Mặt khác BD cũng là tiếp tuyến của (C;CI).

Suy ra $\hat{I C B} = \hat{D C B}$ (2).

Từ (1) và (2) nên $\hat{D C B} = \hat{O B C}$ .

Ta lại có $\hat{D C B} + \hat{D B C} = 90^{\circ}$ (do tam giác CBD vuông tại D) hay $\hat{O B C} + \hat{D B C} = 90^{\circ}$ , do đó $\hat{O B D} = 90^{\circ}$ .

Suy ra $B D ⊥ O B$ tại B.

Vậy BD là tiếp tuyến (O).