Giải bài 20 trang 14

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) $A = 4 x^{2} - 4 x + 23$

b) $B = 25 x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 2$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$A = 4 x^{2} - 4 x + 23 = (4 x^{2} - 4 x + 1) + 22 = {(2 x - 1)}^{2} + 22$

Mà ${(2 x - 1)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ , suy ra ${(2 x - 1)}^{2} + 22 \geq 22$ với mọi $x$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $22$ khi $2 x - 1 = 0$ hay $x = \frac{1}{2}$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} B = 25 x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 2 \\ = (25 x^{2} + 10 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) - 3 \\ = {(5 x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 3 \end{array}$

Mà ${(5 x + 1)}^{2} \geq 0; {(y - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ và $y$ , suy ra ${(5 x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 3 \geq - 3$ với mọi $x$ và $y$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là -3 khi $5 x + 1 = 0$ và $y - 2 = 0$ hay $x = - \frac{1}{5}$ và $y = 2$ .