Giải bài 20 trang 48

Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), D (0; b; 0), S (0; 0; c)$ với $a, b, c$ là các số dương (Hình 3).

a) Tìm toạ độ của điểm $C$ , trung điểm $M$ của $B C$ , trọng tâm $G$ của tam giác $S C D$ .

b) Lập phương trình mặt phẳng $(S B D)$ .

c) Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(S B D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{cases}$ .

‒ Sử dụng công thức toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $A B$ :

$M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{y_{A} + z_{B}}{2})$ .

‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ :

$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

‒ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua ba điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a b c \neq 0$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

‒ Khoảng cách từ điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ :

$d (M_{0}; (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ .

$\vec{A B} = (a; 0; 0), \vec{D C} = (x_{C}; y_{C} - b; z_{C})$ .

Tứ giác $A B C D$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

$\vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = x_{C} \\ 0 = y_{C} - b \\ 0 = z_{C} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{C} = a \\ y_{C} = b \\ z_{C} = 0 \end{cases}$ . Vậy $C (a; b; 0)$ .

$M$ là trung điểm của $B C$ nên ta có: $M (\frac{a + a}{2}; \frac{0 + b}{2}; \frac{0 + 0}{2})$ hay $M (a; \frac{b}{2}; 0)$ .

$G$ là trọng tâm của tam giác $S C D$ nên ta có: $G (\frac{0 + a + 0}{3}; \frac{0 + b + b}{3}; \frac{c + 0 + 0}{3})$ hay $G (\frac{a}{3}; \frac{2 b}{3}; \frac{c}{3})$ .

b) Phương trình mặt phẳng $(S B D)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ .

c) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(S B D)$ bằng:

$\begin{array}{l} d (G, (S B D)) = \frac{| \frac{\frac{a}{3}}{a} + \frac{\frac{2 b}{3}}{b} + \frac{\frac{c}{3}}{c} - 1 |}{\sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} + {(\frac{1}{b})}^{2} + {(\frac{1}{c})}^{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} \\ = \frac{1}{3 \sqrt{\frac{b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2} c^{2}}}} = \frac{a b c}{3 \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}} \end{array}$