Giải bài 20 trang 54

a) Chứng minh rằng (frac{1}{{sqrt {n + 1} + sqrt n }} = sqrt {n + 1} - sqrt n ) với mọi số tự nhiên n. b) Tính (frac{1}{{sqrt 1 + sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 + sqrt 3 }} + ... + frac{1}{{sqrt {99} + sqrt {100} }}.)

Đề bài

a) Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ với mọi số tự nhiên n.

b) Tính $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{{(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{\sqrt{a b}}{b} (a \geq 0, b > 0)$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a b}}{b} (a \geq 0, b > 0)$

Lời giải chi tiết

a) Xét vế trái

$V T = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n + 1 - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = V P .$

b) Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = \frac{\sqrt{1} - \sqrt{2}}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{1} - \sqrt{2})} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})} + . . . + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{(\sqrt{99} + \sqrt{100}) (\sqrt{99} - \sqrt{100})} = \frac{\sqrt{1} - \sqrt{2}}{1 - 2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} + . . . + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{99 - 100} = - (\sqrt{1} - \sqrt{2}) - (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - . . . - (\sqrt{99} - \sqrt{100}) = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + . . . + \sqrt{100} - \sqrt{99} = - 1 + \sqrt{100} = - 1 + 10 = 9.$