Giải bài 20 trang 58

So sánh: a) √2024−√20232024−2023\sqrt {2024} - \sqrt {2023} và √2023−√20222023−2022\sqrt {2023} - \sqrt {2022} b) √a+ba+b\sqrt {a + b} và √a+√ba+b\sqrt a + \sqrt b với a>0,b>0a>0,b>0a > 0,b > 0.

Đề bài

So sánh:

a) $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ và $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$

b) $\sqrt{a + b}$ và $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ với $a > 0, b > 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ để suy ra

$\sqrt{2024} - \sqrt{2023} = \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ và $\sqrt{2023} - \sqrt{2022} = \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$ .

Bước 2: So sánh 2 vế phải của 2 đẳng thức trên.

b) So sánh ${(\sqrt{a + b})}^{2}$ và ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $(\sqrt{2024} - \sqrt{2023}) (\sqrt{2024} + \sqrt{2023}) = 2024 - 2023 = 1$

nên $\sqrt{2024} - \sqrt{2023} = \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ .

+) $(\sqrt{2023} - \sqrt{2022}) (\sqrt{2023} - \sqrt{2022}) = 2023 - 2022 = 1$ nên $\sqrt{2023} - \sqrt{2022} = \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$ .

Ta lại có: $\sqrt{2024} > \sqrt{2022}$ suy ra $\sqrt{2024} + \sqrt{2023} > \sqrt{2022} + \sqrt{2023}$ ,

do đó $\frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}} < \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$

vậy $\sqrt{2024} - \sqrt{2023} < \sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ .

b) Với $a > 0, b > 0,$ ta có ${(\sqrt{a + b})}^{2} = a + b$ và ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b}$ .

Do $a + b < a + b + 2 \sqrt{a b}$ nên ${(\sqrt{a + b})}^{2} < {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}$ .

Mặt khác ta lại có $\sqrt{a + b} > 0$ , $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$ suy ra $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .