Giải bài 20 trang 66

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Chứng minh: $MN\le \frac{AB+DC}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải chi tiết

Lấy $I$ là trung điểm của $BD$. Khi đó, ta có $MI,NI$ lần lượt là các đường trung bình của tam giác $ABD$ và $BDC$ nên $MI=\frac{AB}{2},NI=\frac{CD}{2}$.

Do đó $MI+NI=\frac{AB+CD}{2}$ (1)

-         Nếu $I$ không thuộc $MN$ ta có $MN<MI+NI$ (bất đẳng thức tam giác).

-         Nếu $I$ thuộc $MN$ ta có $MN=MI+NI$.

Tức là, ta luôn có $MN\le MI+NI$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $MN\le \frac{AB+CD}{2}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $I$ thuộc $MN$, khi đó $AB//CD$.