Giải bài 20 trang 66

Cho tứ giác ABCDABCDABCD có M,NM,NM,N lần lượt là trung điểm của AD,BCAD,BCAD,BC. Chứng minh: MN≤AB+DC2MN≤AB+DC2MN \le \frac{{AB + DC}}{2}. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Đề bài

Cho tứ giác $A B C D$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A D, B C$ . Chứng minh: $M N \leq \frac{A B + D C}{2}$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Lấy $I$ là trung điểm của $B D$ . Khi đó, ta có $M I, N I$ lần lượt là các đường trung bình của tam giác $A B D$ và $B D C$ nên $M I = \frac{A B}{2}, N I = \frac{C D}{2}$ .

Do đó $M I + N I = \frac{A B + C D}{2}$ (1)

- Nếu $I$ không thuộc $M N$ ta có $M N < M I + N I$ (bất đẳng thức tam giác).

- Nếu $I$ thuộc $M N$ ta có $M N = M I + N I$ .

Tức là, ta luôn có $M N \leq M I + N I$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $M N \leq \frac{A B + C D}{2}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi $I$ thuộc $M N$ , khi đó $A B / / C D$ .