Giải bài 20 trang 67

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(–1; –1), C(2; – 5).

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(–1; –1), C(2; – 5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = $\frac{3}{2}$ AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Chứng minh 2 vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương để chứng minh A, B, C không thẳng hàng .

Bước 2: Áp dụng kết quả G(a; b) là trọng tâm của ∆ABC với $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$ thì ${\begin{cases} a = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ b = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{cases}$ để tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

Bước 3: Tìm điểm D thỏa mãn $\vec{C D} = \frac{3}{2} \vec{B A}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} = (- 2; - 6)$ ; $\vec{A C} = (1; - 10)$ . Vì $\frac{- 2}{1} \neq \frac{- 6}{- 10}$ nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) G(a; b) là trọng tâm của ∆ABC $\Rightarrow G (\frac{2}{3}; - \frac{1}{3})$ .

c) Gọi $D (a; b)$ .

Theo giả thiết, ABCD là hình thang có AB // CD và CD = $\frac{3}{2}$ AB $\Rightarrow \vec{C D} = \frac{3}{2} \vec{B A}$ .

Ta có: $\vec{C D} = (a - 2; b + 5), \vec{A B} = (- 2; - 6)$ .

$\Rightarrow \vec{C D} = \frac{3}{2} \vec{B A}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a - 2 = \frac{3}{2} .2 \\ b + 5 = \frac{3}{2} .6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 5 \\ b = 4 \end{cases}$ . Vậy D(5; 4).