Giải bài 20 trang 95

Đề bài

Cho hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A} > 90^{\circ}$ , $A B > B C$ . Trên đường thẳng vuông góc với $B C$ tại $C$ lấy hai điểm $E, F$ sao cho $C E, C F, B C$ . Trên đường thẳng vuông góc với $C D$ tại $C$ lấy hai điểm $P, Q$ sao cho $C P = C Q = C D$ (Hình 16). Chứng minh:

a) Tứ giác $E P F F G$ là hình bình hành;

b) $A C ⊥ E P$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành:

- Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

- Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác $E P F Q$ có hai đường chéo $E F$ và PQ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $E F P Q$ là hình binh hành.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $A C$ và $E P$ , $K$ là giao điểm của $A B$ và $P Q$ .

Do $A B C D$ là hình bình hành nên $A B / / C D, A D = B C$ , $\hat{B} = \hat{D}$ .

Vì $A B / / C D$ nên $\hat{B K C} = \hat{D C K} = 90^{\circ}$ (hai góc so le trong). Suy ra tam giác $B C K$ vuông tại $K$ . Do đó,

$\hat{B} = \hat{B C K} = 90^{\circ}$

Mặt khác, ta có $\hat{E C P} + \hat{B C K} = \hat{B C E} = 90^{\circ}$ nên $\hat{D} = \hat{E C P}$ .

Xét hai tam giác $A C D$ và $E P C$ , ta có:

$A D = E C$ (vì cùng bằng $B C$ ); $\hat{D} = \hat{E C P}; C D = P C$

Suy ra $Δ A C D = Δ E P C$ (c.g.c). Do đó $\hat{A C D} = \hat{E P C}$ (hai góc tương ứng) hay $\hat{A C D} = \hat{H P C}$ . Mà $\hat{A C D} + \hat{P C H} = \hat{D C P} = 90^{\circ}$ , suy ra $\hat{H P C} + \hat{P C H} = 90^{\circ}$

Xét tam giác $C P H$ , ta có: $\hat{C H P} + \hat{H P C} + \hat{P C H} = 180^{\circ}$

Suy ra $\hat{C H P} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ hay $\hat{C H P} = 90^{\circ}$ . Vậy $A C ⊥ E P$ .