Giải bài 21 trang 109

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho ˆCAB=30∘CAB^=30∘\widehat {CAB} = 30^\circ . Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) MC=R√3MC=R3MC = R\sqrt 3 .

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho $\hat{C A B} = 30^{\circ}$ . Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $M C = R \sqrt{3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Chứng minh $C B = O B = B M$ .

Bước 2: Dựa vào tính chất: Trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông, ta chứng minh được $C M ⊥ O C$ .

b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông OCM để tính CM.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác OAC có $O A = O C (= R)$ nên tam giác OAC cân tại O, do đó $\hat{A} = \hat{A C O} = 30^{\circ}$ .

Xét tam giác ABC có $O A = O B = O C = \frac{A B}{2} (= R)$ nên tam giác ABC vuông tại C, nên $\hat{A C B} = 90^{\circ}$ .

Ta có $\hat{A C O} + \hat{O C B} = \hat{A C B} = 90^{\circ}$ , suy ra $\hat{O C B} = 90^{\circ} - \hat{A C O} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ .

Xét tam giác OCB có $O B = O C (= R)$ và $\hat{O C B} = 60^{\circ}$ nên tam giác OCB đều,

do đó $O C = O B = C B .$

Vậy $O C = O B = C B = B M .$

Xét tam giác OCM có $M B = O B = C B = \frac{O M}{2}$ nên tam giác OCM vuông tại C,

hay $C M ⊥ O C$ .

Do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Do tam giác OCM vuông tại C và $\hat{C O B} = 60^{\circ}$ nên $\hat{M} = 30^{\circ}$

Ta có $\tan M = \frac{O C}{M C}$ hay $M C = \frac{O C}{\tan M} = \frac{R}{\tan 30^{\circ}} = R \sqrt{3}$ .