Giải bài 21 trang 67

Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA có AB=8AB=8AB = 8 cm, AC=6AC=6AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD,BEAD,BEAD,BE cắt nhau tại OOO. Tính :

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 8$ cm, $A C = 6$ cm, có hai đường phân giác $A D, B E$ cắt nhau tại $O$ . Tính :

a) Độ dài các đoạn thẳng $A E, E C$ ;

b) Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $A C$ ;

c) Độ dài đường phân giác $A D$ (theo đơn vị centimet và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác $D O E$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

Tính chất đường phân giác của tam giác: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác vuông $A B C$ vuông tại $A$ nên theo định lí Pythagore, ta có: $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 100$ , suy ra $B C = 10$ cm.

Vì $B E$ là phân giác nên $\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

Suy ra $\frac{A E}{4} = \frac{E C}{5} = \frac{A E + E C}{4 + 5} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Vậy $A E = \frac{8}{3}$ cm; $E C = \frac{10}{3}$ cm.

b) Kẻ $O H$ vuông góc với $A C$ tại $H, O H ⊥ A C, B A ⊥ A C$ nên $O H / / A B$ .

Suy ra $\frac{O H}{A B} = \frac{O E}{E B}$ (1). Tam giác $A E B$ có $A O$ là phân giác nên $\frac{E O}{O B} = \frac{A E}{A B} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra $\frac{E O}{E B} = \frac{1}{4}$ (2). Từ (1) và (2) ta có $\frac{O H}{A B} = \frac{1}{4}$ , suy ra $O H = 2$ cm.

c) Kẻ $D K ⊥ A C, D I ⊥ A B$ . Khi đó, tứ giác $A K D I$ có ba góc vuông và đường chéo $A D$ là đường phân giác của góc $K A I$ nên tứ giác $A K D I$ là hình vuông. Suy ra $D K = D I$ . Ta có $S_{Δ A B C} = S_{Δ A D C} + S_{Δ A D B}$ nên $\frac{A C . A B}{2} = \frac{A C . D K}{2} + \frac{A B . D I}{2}$ hay $A C . A B = A C . D K + A B . D I = (A B + A C)$ . $D K$ (do $D K = D I$ ). Từ đó, ta có: $D K = \frac{A B . A C}{A B + A C} = \frac{8.6}{8 + 6} = \frac{24}{7}$ . Tứ giác $A K D I$ là hình vuông nên $A D = D K \sqrt{2}$ . Do đó $A D = \frac{24 \sqrt{2}}{7} \approx 4, 8$ (cm).

d) Ta có: $S_{Δ B A C} = \frac{1}{2} .6 .8 = 24 (c m^{2})$ . Suy ra $\frac{S_{Δ B C E}}{S_{Δ B A C}} = \frac{E C}{A C} = \frac{10}{3} : 6 = \frac{5}{9}$ .

Do đó $S_{Δ B C E} = \frac{5}{9} .24 = \frac{40}{3} (c m^{2})$ . Tương tự: $\frac{S_{Δ D B E}}{S_{Δ B E C}} = \frac{D B}{B C} = \frac{4}{7}$ .

Suy ra $S_{Δ D B E} = \frac{160}{21} (c m^{2})$ .

Mà $\frac{S_{Δ D O E}}{S_{Δ D B E}} = \frac{O E}{B E} = \frac{1}{4}$ suy ra $S_{Δ D O E} = \frac{1}{4} . \frac{160}{21} = \frac{40}{21} (c m^{2})$ .