Giải bài 22 trang 67

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho ∣∣∣−−→MA+−−→MB∣∣∣|MA→+MB→|\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| có giá trị nhỏ nhất.

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} |$ có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tham số hóa điểm M

Bước 2: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

Bước 3: Tách vectơ trong biểu thức sao cho xuất hiện vectơ $\vec{M I}$ và đánh giá biểu thức

Bước 4: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn giả thiết

Lời giải chi tiết

Do M $\in O x$ nên M(a; 0)

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow \vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ và I(7; 1)

Ta có: $| \vec{M A} + \vec{M B} | = | \vec{M I} + \vec{I A} + \vec{M I} + \vec{I B} | = | 2 \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) | = 2 | \vec{M I} |$ $= 2 M I$

$| \vec{M A} + \vec{M B} |$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của I trên Ox

Mà I(7; 1) $\Rightarrow M (7; 0)$

Vậy M(7; 0) thì $| \vec{M A} + \vec{M B} |$ có giá trị nhỏ nhất