Giải bài 23 trang 41

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $A = (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} - 1) . \frac{x - y}{2 y}$ tại $x = 5; y = 7$

b) $B = \frac{2 x + y}{2 x^{2} - x y} + \frac{8 y}{y^{2} - 4 x^{2}} + \frac{2 x - y}{2 x^{2} + x y}$ tại $x = - \frac{1}{2}; y = \frac{3}{2}$

c) $C = (\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}) (\frac{x + y}{x^{2} + x y + y^{2}} + \frac{1}{x - y}) - \frac{x}{y}$ tại $x = - 15; y = 5$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức:

$A$ $= (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} - 1) . \frac{x - y}{2 y}$ $= (\frac{x^{2} + y^{2} - x^{2} + y^{2}}{(x - y) (x + y)}) . \frac{x - y}{2 y}$ $= \frac{2 y^{2}}{(x - y) (x + y)} . \frac{x - y}{2 y}$ $= \frac{y}{x + y}$

Giá trị của biểu thức $A$ tại $x$ $= 5; y$ $= 7$ là: $\frac{7}{5 + 7}$ $= \frac{7}{12}$ .

b) Rút gọn biểu thức:

$B = \frac{2 x + y}{2 x^{2} - x y} + \frac{8 y}{y^{2} - 4 x^{2}} + \frac{2 x - y}{2 x^{2} + x y}$ $= \frac{2 x + y}{x (2 x - y)} - \frac{8 y}{{(2 x)}^{2} - y^{2}} + \frac{2 x - y}{x (2 x + y)}$ $= \frac{(2 x + y) (2 x + y)}{x (2 x - y) (2 x + y)} - \frac{8 x y}{x (2 x - y) (2 x + y)} + \frac{(2 x - y) (2 x + y)}{x (2 x + y) (2 x - y)}$ $= \frac{{(2 x + y)}^{2} - 8 x y + {(2 x - y)}^{2}}{x (2 x - y) (2 x + y)}$ $= \frac{4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 8 x y + 4 x^{2} - 4 x y + y^{2}}{x (2 x + y) (2 x - y)}$ $= \frac{8 x^{2} - 8 x y + 2 y^{2}}{x (2 x + y) (2 x - y)}$ $= \frac{2 {(2 x - y)}^{2}}{x (2 x + y) (2 x - y)}$ $= \frac{2 (2 x - y)}{x (2 x + y)}$

Giá trị của biểu thức $B$ tại $x$ $= - \frac{1}{2}; y$ $= \frac{3}{2}$ là: $\frac{2 (2. - \frac{1}{2} - \frac{3}{2})}{- \frac{1}{2} (2. \frac{- 1}{2} + \frac{3}{2})}$ $= 20$

c) Rút gọn biểu thức:

$C = (\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}) (\frac{x + y}{x^{2} + x y + y^{2}} + \frac{1}{x - y}) - \frac{x}{y}$ $= (\frac{x^{3} - y^{3}}{x y}) (\frac{(x + y) (x - y) + x^{2} + x y + y^{2}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}) - \frac{x}{y}$ $= (\frac{x^{3} - y^{3}}{x y}) (\frac{x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + y^{2}}{x^{3} - y^{3}}) - \frac{x}{y}$ $= \frac{x^{3} - y^{3}}{x y} . \frac{2 x^{2} + x y}{x^{3} - y^{3}} - \frac{x}{y}$ $= \frac{(x^{3} - y^{3}) . x . (2 x + y)}{x y . (x^{3} - y^{3})} - \frac{x}{y}$ $= \frac{2 x + y}{y} - \frac{x}{y}$ $= \frac{x + y}{y}$

Giá trị của biểu thức $C$ tại $x$ $= - 15; y$ $= 5$ là: $\frac{- 15 + 5}{5}$ $= - 2$