Giải bài 24 trang 109

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).

Đề bài

Chứng minh:

a) $M N ⊥ A B$

b) $M N = N H$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Chứng minh $A C = C M, B D = D M$

Bước 2: Áp dụng định lý Thales trong các tam giác ANC, ACD để suy ra $\frac{N A}{N D} = \frac{C M}{D M}$

b) Áp dụng định lý Thales trong các tam giác CAD, CAN, CBA suy ra $\frac{M N}{A C} = \frac{N H}{C A}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $A x ⊥ A B, B y ⊥ A B$ (do Ax, By là tiếp tuyến của (O)) nên $A x / / B y$ .

Mặt khác, do Ax, By, CD là tiếp tuyến của (O)) nên $A C = C M, B D = D M$ .

Xét tam giác ANC có $A C / / B D$ , áp dụng định lý Thales ta được $\frac{N A}{N D} = \frac{A C}{B D}$

nên $\frac{N A}{N D} = \frac{C M}{D M}$ .

Xét tam giác CAD có $\frac{N A}{N D} = \frac{C M}{D M}$ $(N \in A D, M \in C D)$ do đó $M N / / A C$ .

Mà $A C ⊥ A B$ suy ra $M N ⊥ A B$ .

b) Áp dụng định lý Thales trong:

Tam giác CAD có $M N / / A C$ : $\frac{M N}{A C} = \frac{D N}{A D}$ (1)

Tam giác CAN có $C A / / B D$ : $\frac{D N}{A D} = \frac{B N}{C B}$ (2)

Tam giác CBA có $N H / / C A$ : $\frac{B N}{C B} = \frac{N H}{C A}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{M N}{A C} = \frac{N H}{C A}$ , do đó $M N = N H$