Giải bài 24 trang 74

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho $A (1; 2; - 1), B (2; - 1; 3)$ , $C (- 4; 7; 5)$ .

a) Toạ độ của $\vec{A B} = (1; - 3; 4)$ , $\vec{A C} = (- 5; 5; 6)$ .

b) $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{26}$ ,

$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{86}$ .

c) $\vec{A B} . \vec{A C} = 4$ .

d) $\cos \hat{B A C} = \frac{11}{52}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $A B$ :

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

‒ Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + z_{1} . z_{2}$ .

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + z_{1} . z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

$\vec{A B} = (2 - 1; - 1 - 2; 3 - (- 1)) = (1; - 3; 4)$ , $\vec{A C} = (- 4 - 1; 7 - 2; 5 - (- 1)) = (- 5; 5; 6)$ .

Vậy a) đúng.

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{26}$ , $A C = | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{86}$ .

Vậy b) đúng.

$\vec{A B} . \vec{A C} = 1. (- 5) + (- 3) .5 + 4.6 = 4$ .

Vậy c) đúng.

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |}$

$= \frac{4}{\sqrt{26} . \sqrt{86}} = \frac{2}{\sqrt{559}}$ .

Vậy d) sai.

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S