Giải bài 25 trang 14

Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Đề bài

Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính số đường chéo được tạo từ n đỉnh tạo thành phương trình ẩn n với vế phải bằng 170

Bước 2: Giải phương trình tìm được ở bước 1 để tìm n

Lời giải chi tiết

Đa giác lồi có n đỉnh thì có n cạnh.

Số cách chọn 2 đỉnh trong n đỉnh là: $C_{12}^{2}$ cách chọn

$\Rightarrow$ Số đường chéo cần tìm là $C_{n}^{2} - n$

Theo đề bài, ta có số đường chéo của đa giác là 170

$\Rightarrow C_{n}^{2} - n = 170 \Leftrightarrow \frac{n!}{2! (n - 2)!} - n = 170$ $\Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2)!}{2 (n - 2)!} - n = 170 \Leftrightarrow \frac{n (n - 1)}{2} - n = 170$

$\Leftrightarrow n (n - 1) - 2 n = 340 \Leftrightarrow n^{2} - 3 n - 340 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 20 \\ n = - 17 \end{array}$

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20

Vậy n = 20 thỏa mãn yêu cầu bài toán