Đề bài
Chứng minh biểu thức B=x5−15x2−x+5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta chứng minh x5−x⋮5
Ta có: x5−x=x(x4−1)=x(x2−1)(x2+1)=x(x−1)(x+1)(x2+1)
Nếu x=5k thì x⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x5−x⋮5
Nếu x=5k+1 thì x−1=5k⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+2 thì x2+1=(5k+2)2+1=25k2+20k+5⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+3 thì x2+1=(5k+3)2+1=25k2+30k+10⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+4 thì x+1=5k+5⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Do đó x5−x⋮5 với mọi số nguyên x
Ta có: x5−x⋮5;15x2⋮5;5⋮5 nên x5−15x2−x+5⋮5 với mọi số nguyênx.
Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.
