Lớp 8:Toán Ngữ văn Tiếng Anh Tin học Lịch sử và Địa lí Công nghệ Âm Nhạc Khoa học Mỹ Thuật Giáo Dục Địa Phương HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp GDCD Giáo dục thể chất

Giải bài 25 trang 18

Chứng minh biểu thức B=x5−15x2−x+5B=x5−15x2−x+5B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên xxx

Đề bài

Chứng minh biểu thức $B = x^{5} - 15 x^{2} - x + 5$ chia hết cho 5 với mọi số nguyên $x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh $x^{5} - x ⋮ 5$

Ta có: $x^{5} - x = x (x^{4} - 1) = x (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

Nếu $x = 5 k$ thì $x ⋮ 5$

Khi đó $x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) ⋮ 5$ hay $x^{5} - x ⋮ 5$

Nếu $x = 5 k + 1$ thì $x - 1 = 5 k ⋮ 5$

Khi đó $x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) ⋮ 5$ hay $x^{2} - x ⋮ 5$

Nếu $x = 5 k + 2$ thì $x^{2} + 1 = {(5 k + 2)}^{2} + 1 = 25 k^{2} + 20 k + 5 ⋮ 5$

Khi đó $x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) ⋮ 5$ hay $x^{2} - x ⋮ 5$

Nếu $x = 5 k + 3$ thì $x^{2} + 1 = {(5 k + 3)}^{2} + 1 = 25 k^{2} + 30 k + 10 ⋮ 5$

Khi đó $x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) ⋮ 5$ hay $x^{2} - x ⋮ 5$

Nếu $x = 5 k + 4$ thì $x + 1 = 5 k + 5 ⋮ 5$

Khi đó $x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) ⋮ 5$ hay $x^{2} - x ⋮ 5$

Do đó $x^{5} - x ⋮ 5$ với mọi số nguyên $x$

Ta có: $x^{5} - x ⋮ 5; 15 x^{2} ⋮ 5; 5 ⋮ 5$ nên $x^{5} - 15 x^{2} - x + 5 ⋮ 5$ với mọi số nguyên $x$ .

Vậy $B$ chia hết cho 5 với mọi số nguyên $x$ .