Giải bài 25 trang 41

Cho biểu thức: (S = frac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{x}.left( {1 - frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} right) - frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x})

Đề bài

Cho biểu thức: $S = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $S$ tại $x = 0, 1$

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức $S$ là: $x \neq 0; x \neq - 2$

Rút gọn biểu thức ta có:

$\begin{array}{l} S = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x} \\ = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . \frac{x + 2 - x^{2}}{x + 2} - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x} \\ = \frac{(x + 2) . (- x^{2} + x + 2)}{x} - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x} \\ = \frac{- x^{3} + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4 - x^{2} - 6 x - 4}{x} \\ = \frac{- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x}{x} = - x^{2} - 2 x - 2 \end{array}$

Giá trị của biểu thức $S$ tại $x = 0, 1$ là: $- 0, 1^{2} - 2.0, 1 - 2 = - 2, 21$

b) Ta có:

$S = - x^{2} - 2 x - 2 = - (x^{2} - 2 x + 1) - 1 = - {(x - 1)}^{2} - 1$

Suy ra $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $- {(x - 1)}^{2} - 1$ đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi $x$ , ta có ${(x - 1)}^{2} \geq 0$

hay $- {(x - 1)}^{2} - 1 \leq - 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là -1 khi $(x - 1) = 0$ hay $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện xác định)